В обобщенно-личных предложениях главный член выражен глаголом в форме второго лица единственного числа изъявительного и повелительного наклонений или в форме третьего лица множественного числа изъявительного наклонения.

Главный член безличного предложения стоит в форме третьего лица единственного числа (в настоящем или будущем времени изъявительного наклонения) или среднего рода единственного числа (в прошедшем времени изъявительного наклонения и в условном наклонении) — это так называемая безличная форма.

В первой части сложного предложения Любишь кататься — люби и саночки возить глагол стоит в форме второго лица единственного числа изъявительного наклонения (любишь), а во второй части — в форме единственного числа повелительного наклонения (люби). Таким образом, это обобщенно-личное предложение.

Допустимы обе формы глагола хватать (настоящего и прошедшего времени), но, если «созданная несколько лет назад организация» хотя бы отчасти решила проблему, лучше использовать форму прошедшего времени: Современной молодежи, которая порой сутки напролет проводит в гаджетах, явно не хватало подобной активности. Поэтому несколько лет назад была создана организация...

Не хватать, не хватает, не хватало и т. п. всегда пишется раздельно.

1. Предпочтительно: на учете состоял 1201 человек.

2. Предлагаем такой вариант: Год назад вместо заветной фразы «Хочу выйти замуж» Маша легкомысленно вывела: «Хочу научиться кататься на коньках».

Уместнее запятая. И конечно, абзац требует стилистической правки.

Оба слова входят в состав русского литературного языка. Но похвастаться – стилистически нейтральный глагол, похвастать – разговорный.

Знаки препинания расставлены верно.

В этом предложении слово возможно не вводное: от него зависит придаточное изъяснительное, связанное с ним союзом что (возможно, что (...) она пойдёт на улицу кататься на коньках). Запятую перед ним нужно заменить на другой знак препинания, иначе оно прочитывается как вводное слово, относящееся к первой части: *В правом нижнем углу лежат коньки, возможно (при таком прочтении придаточная часть с союзом что «повисает в воздухе», ей не к чему прикрепляться). Поскольку вторая часть бессоюзной конструкции имеет значение причины, обоснования, рекомендуется поставить двоеточие: В правом нижнем углу лежат коньки: возможно, что, после того как она дочитает книгу, она пойдёт на улицу кататься на коньках. Возможен и вариант с расчленением союза после того как — в «Письмовнике» отмечается, что этот союз может расчленяться в зависимости от некоторых условий, в частности если автор желает подчеркнуть, что на первую часть (в данном случае на сочетание после того) падает логическое ударение: В правом нижнем углу лежат коньки: возможно, что после того, как она дочитает книгу, она пойдёт на улицу кататься на коньках.

Что касается слова также, начинающего предложение, то для определенного ответа нужны контексты. 

Смысл фразы, которую Вы приводите, непонятен.