Корректно написание со строчной (маленькой) буквы: с новым учебным годом.
Повторять предлог не нужно: Поздравляю с профессиональным праздником — Днем энергетика.
Перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный], употребляется предлог со. Правильно: Марк со Златой. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Верно: С праздником!
Оба варианта верны: с лавашем и с лавашом.
Бытовые названия (сморчки, подберезовики, подосиновики и т. п.) пишутся со строчной буквы.