Верно в каком именно тексте?
В большинстве словарей русского языка эти варианты даны как равноправные. И только в некоторых изданиях предпочтение отдается варианту строгать, а глагол стругать зафиксирован как разговорный.
Правильно: НИИ материнства и детства.
Правильно: 23 Февраля, День защитника Отечества.
Написание зависит от контекста. Если прилагательное не противопоставляется в предложении другим словам, если отрицание не усиливается средствами интонации, то уместно слитное написание.
Если у прилагательного нет зависимых слов, то правильно: строганое бревно.
Правильно: строчнЫе буквы, строчнАя буква.
Правильно писать со строчной, но при воспроизведении дореволюционных текстов в составе официального титулования словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендует писать с большой буквы: Наследник Цесаревич.
