Такой оборот возможен в разговорной речи.
Знаки препинания не требуются.
Да, нужно: Мать, сидя в углу, молчала, не отрывая глаз от лица сына.
Предложение безличное, то есть такое, в котором подлежащее в им. падеже отсутствует и добавить его невозможно, действие происходит само по себе. Форма глагола в безличном предложении совпадает с формой 3-го лица ед. числа, в которой мягкий знак не пишется. Ср.: он (что делает?) приходит в гости, он приходится мне дядей и (мне) приходится видеть.
Вариант "Будем рады видеть Вас на нашем сайте" вполне возможен.
Принято говорить: видеть на экране, на мониторе (но в разговорной речи: уставиться в экран, в монитор).
Мы не выполняем домашние задания.
Такое употребление некорректно. Возможный вариант: встречаемся у бассейна, сидеть у бассейна.
Запятая не нужна.
Тире между подлежащим и сказуемым не ставится из-за связки "значит".