Фамилия должна склоняться: разработан инженером Сергеем Александровичем Цейтером.
Такое употребление вполне корректно. Словари фиксируют в том числе и переносное значение слова кулуары: "В сочетании в кулуарах — о неофициальных разговорах в осведомлённых политических, общественных кругах".
Предлог необязателен, но лучше его оставить, без предлога фраза воспринимается хуже.
Постановка запятых не требуется.
Контекст явно недостаточен.
Если имеется в виду прическа, сочетание корректно.
Да, в этом предложении есть речевой недочет.
Ошибка здесь: оплатить за. Так нельзя говорить и писать. Правильно: оплатить что-либо, заплатить за что-либо.
Примите во внимание более широкий контекст и уточните значение слова проблема в высказывании. Возможно, обнаружится лексическая неточность. Пока же в столь лаконичном фрагменте мы речевых недочетов не увидели.
В данном предложении слово оснащен использовано неверно.
