Правильно: вернулся в Москву, живет во Владимире. И в канцелярской речи: в г. Москву, в г. Владимире.
Правильно: полголовы. Проверять написание слов можно с помощью электронных словарей, размещенных на нашем портале.
Эти предложно-именные сочетания неоднозначны (имеют по нескольку значений), поэтому без конкретных контекстов разницу объяснить трудно: это займет несколько страниц текста. Обратим внимание лишь на некоторые значения.
Сочетание "в пути" может употребляться в значении "во время пути", "в течение путешествия": В пути мы познакомились с Владимиром.
Сочетание "по пути" может использоваться в выражении "нам по пути" (у нас общая цель путешествия, общие задачи): Ты хочешь добиться повышения зарплаты? Значит, нам по пути.
Сочетание "на пути" может обладать пространственным значением: "на поверхности дороги". На нашем пути встала непреодолимая преграда.
Верно: два подъездных пути.
Без родового слова корректно: в «Заре Путино».
