1. Перед нами пример возникающего в диалоге феномена отраженной речи, к которой относится не только цитирование реплики собеседника, но и интеграция фрагментов высказывания собеседника в собственное высказывание. Примеры второго типа — а в данном случае именно такой пример, поскольку в интегрированном высказывании другое лицо (второе), нежели в исходной реплике (первое), — не описаны в справочниках по пунктуации. По своей структуре рассматриваемая реплика представляет собой бессоюзное сложное предложение, первая часть которого содержит глагол с незамещенной синтаксической позицией. В таких предложениях эталонным знаком является двоеточие, например: Я тебе определённо скажу: у тебя есть талант (Ф.). Однако интонационный рисунок высказывания с отраженной речью несколько другой, поэтому рекомендуем поставить между частями тире (оно и в целом допускается правилами как замена двоеточия, см. примечание 2 к параграфу 129 справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Добавим, что рассматриваемое предложение вопросительное (представляет собой удивленный или возмущенный вопрос), поэтому нужно поставить соответствующий знак конца предложения — вопросительный знак либо сочетание вопросительного и восклицательного знаков, например:
— Я не хочу идти с тобой.
— Что значит — ты не хочешь идти со мной?!

2. Ряд вопросов, комментирующих содержание высказывания, вполне уместно представить в виде вставной конструкции, но лучше оформить ее в скобках. Поскольку это часть одного предложения, вопросы начинаются со строчной буквы: В тот день, когда она находилась дома (а точно ли находилась? кто-то проверял? она может представить доказательства?), всё и произошло. Обратите внимание, что со словом доказательства лучше использовать глагол представить.

Сочетания со словом как не являются приложениями. Приложения — это согласованные определения, выраженные именем существительным (нераспространенное приложение) или именем существительным с зависимыми словами (распространенное приложение). Обороты со словом как выполняют в предложении роль обстоятельства или являются частью сказуемого. Пунктуация в этом случае подчиняется правилам, о которых Вы пишете (оборот обособляется, если имеет значение причинности, и не обособляется при значении 'в качестве'), но речь идет не о приложениях.

Верно, запятая не нужна: заведующий кафедрой доцент Иванов И. И.

Начальник караула — это должность, а должность и звание являются неоднородными приложениями и не разделяются запятой: Операцией командовал начальник караула лейтенант внутренней службы Иванов Иван Иванович.

Когда обозначаются годы жизни или год выхода произведения, указываются просто числа, добавлять г. или гг. не нужно.

Можно добавлять, можно и не добавлять. Во втором случае будет экономнее.

Слово вклад в значении 'значительное достижение' требует дополнения в форме винительного падежа (во что?). Корректный вариант: они внесли значительный вклад в дело обеспечения...

Да, верно: из Иванкова.

Предложение в скобках нужно отредактировать, например: Справа пишешь, от какого инфинитива образована форма глагола, и указываешь его спряжение.

Запрета на продолжение предложения после формул приветствия (Добрый день, Здравствуйте, Привет и т. д.) нет, но с коммуникативной точки зрения уместно закончить предложение, потому что формула приветствия представляет собой отдельный речевой акт, с особой коммуникативной целью — установить контакт с адресатом. Дальнейший текст имеет другую коммуникативную цель, в Вашем примере — информировать адресата о чем-либо.