Верно: неотгулянный отпуск. Если контекст подразумевает противопоставление, то верно: не отгулянный отпуск.
Запятая нужна.
Мужская фамилия Надточий склоняется. Надточию Алексею – правильно.
Оба варианта написания отчества верны.
Корректно: Шло время, Алексей превратился в Лёшку-Забей-На-Всё.
2. Едучи -- корректно.
Приложения начальник отдела и физорг неоднородные (характеризуют человека с разных сторон), поэтому знаки препинания не требуются. При этом можно рассматривать сочетание физорг Алексей Степанович пояснением к сочетанию начальник отдела (особенно если основной темой текста является этот отдел) и поставить тире: За спортивный дух отвечает начальник отдела — физорг Алексей Степанович.
Корректные формы родительного падежа фамилий: Алексия, Ткачука, Леончика, Капачени.