Правильно: в квартале (и о четвертой части года, и о районе города).
Оба варианта написания не слишком корректны, так как в них нет информации о том, где именно предстоит работать приглашаемым.
Это указание в «Большом толковом словаре» означает всего лишь, что в профессиональной речи можно встретить ударение на первом слоге. Правильным (отвечающим литературной норме) от этого не перестает быть ударение квартал. Обратите внимание, что в заголовочном слове (написанном большими буквами) указано именно такое ударение.
Поскольку супер является приставкой, она пишется, как правило, слитно, кроме случаев, когда она присоединяется к дефисным конструкциям или к собственным именам. Случаи присоединения в кириллическом написании к латинице не регламентированы на сегодняшний день. Поэтому не будет ошибкой ни одно из предложенных Вами написаний.
Правильно: квартАл. Ударение Вы можете проверить с помощью окна «Искать на Грамоте».
Корректно без кавычек.
Выделять курсивом слова и выражения, написанные латиницей, не требуется.
Правильно: пройти внутрь квартала.
