Так говорят о том, кто слезлив, часто и беспричинно плачет.
Верно: операция (на чем?) на глазах, на позвоночнике, на желудке.
Правильно со строчной буквы.
Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода – в зависимости от пола руководителя.
Тире не ставится.
Ошибки нет. Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода. Поскольку неизвестен пол будущего главы администрации, выбирается мужской род (т. к. женский будет однозначно указывать на то, что глава администрации будет женщиной).
Сочетание "слезы отуманили глаза" возможно.
В СМИ лучше всего писать президент Казахстана или просто глава государства, если из контекста понятно, о какой стране идет речь.