Ставится тире, но без пробелов.
В таких предложениях тире обычно не ставится. Однако оно возможно в стилистической функции – при необходимости логически или интонационно отделить подлежащее от сказуемого.
Предпочтителен первый вариант. Слово вопрос сочетается с существительным в предложном падеже с предлогом о. Второй вариант содержит нежелательную конструкцию — ряд существительных в родительном падеже (нанизывание падежей).
Наименование профиля обучения корректно писать с прописной буквы: Институт обновляет профиль обучения «Руководство этнокультурным центром».
Верно: центр внедрения технологий и обучения технологиям.
Двоеточие не нужно.
Если сказуемое предшествует однородным подлежащим, соединенным союзом и, оно может стоять в форме множественного числа, если нужно подчеркнуть множественность предметов. Представляется, что в приведенном контексте это уместно, так как речь идет о разных видах учебных работ. Что касается определения, то, если оно относится только к ближайшему существительному, употребляется форма единственного числа: Это были последний тест и задание в рамках обучения. Если определение относится к обоим существительным, его нужно поставить в форму множественного числа: Это были последние тест и задание в рамках обучения.
