Корректно: навести справки, получить информацию.
Такое написание не ошибка, но это очень недружелюбно по отношению к читателю: римскими цифрами обычно обозначают века. Читателю придется тратить дополнительные усилия, чтобы понять смысл сочетания. Не очень понятно, для чего это нужно автору текста.
В слове петербурженка суффикс -енк-. При добавлении к основе существительного мужского рода он образует существительное женского рода со значением лица женского пола: монах — монаш-енк-а; петербурж-ец — петербурж-енк-а (с усечением производящей основы); черкес — черкеш-енк-а.
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Названные Вами сочетания могут быть написаны без кавычек.
Склонять эту аббревиатуру не следует.
Правильно: заезжай.
Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.
