Если эти слова употребляются как часть официального названия государства, правильно с прописных, например: против Исламской Республики Иран. Если же они выступают в обобщенном значении 'форма государственного устройства', следует писать строчными, например: он выступал против исламской республики, за исламскую монархию.
Согласно «Общероссийскому классификатору стран мира» официальное название: Папский Престол (Государство-город Ватикан). В обиходной устной и письменной речи, при неофициальном употреблении обычно используется только слово Ватикан.
Обе формы верны.
Оборот поднять тост не является ошибочным. См. в «Словаре трудностей».
Правильно: на сервере, граничащем.
Это полностью равноправные варианты. Выбор за Вами.
Осто-черт-е-ть. См.: А. Н. Тихонов. Морфемно-орфографический словарь русского языка.
Правильно: трёхмачтовове судно.
Правильно: гробы повапленные.
Орфографически верно: залогиненный.
