Учитель неправ, такие переносы недопустимы. Одно из главных правил переноса: нельзя отделять согласную от следующей за ней гласной.

В русской печати устойчива традиция использовать именно кавычки «ёлочки». В качестве внутренних кавычек применяются кавычки «лапки». Об этом написано, например, в «Справочнике по пунктуации для работников печати» Д. Э. Розенталя (М., 1984):

5. Если в начале или в конце текста (прямой речи, цитаты) встречаются внутренние и внешние кавычки, то они должны отличаться рисунком («ёлочки» и «лапки»): Автор статьи указывает, что «в золотой фонд мировой литературы вошли такие произведения русской классики, как „Война и мир“» [§ 66.].

Необходима прописная буква, так как она служит указанием на начало текста. 

Словарями современного русского литературного языка слово стажист не фиксируется, хотя лингвистические источники отмечают, что в советские годы оно изредка употреблялось в том же значении, что и существительное стажёр. 

Слово ментор фиксируется соврменными толковыми словарями в значении "о ком-л., постоянно поучающем, настаивающем, навязчиво воспитывающем (по имени воспитателя сына Одиссея из поэмы Гомера "Одиссея"). Менторов никто не любит. Говорить тоном ментора", со стилистической пометой "обычно ирон.". Иначе говоря, в современном русском литературном языке в интересующем Вас значении используется только слово наставник.   

Профессионал, профи, мастер, эксперт — эти слова, при поддержке контекста, могут выражать признаки 'опытный', 'имеющий большой стаж' наряду с другими признаками, характеризующими специалиста высокого уровня. При указании исключительно на наличие опыта, большого стажа обычно употребляют описательный оборот из разряда имеющий большой / многолетний опыт / стаж работы, (специалист) с большим / многолетним опытом.

Правильно: к 1 сентября. Восстанавливаем пропущенные слова: к первому (числу) (месяца) сентября.

Написание с двумя дефисами не нарушает орфографических норм. Бизнес-реалити-шоу, бизнес-бутик-отель – корректно. А вот написание бизнес-реалити – шоу невозможно. Здесь не шоу присоединяется к сочетанию бизнес-реалити, а первая часть сложных слов бизнес- присоединяется к сочетанию реалити-шоу.

В таких случаях всё зависит от общего контекста и связанного с ним  авторского замысла. Обособление имени собственного придает ему характер попутного замечания. Так, в предложении Жена Михея, Дарья, жила с нашей матерью на квартире хозяина Михея обособление имени собственного Дарья показывает, что имя жены Михея совершенно неважно для общего понимания ситуации. То же и в других приведенных примерах.

Указанное сочетание знаков препинания действительно не предусмотрено правилами русской пунктуации. Соглашаясь с Вами в рассуждениях о соотношении незавершенности и вопросительной интонации в приведенном высказывании, рекомендуем разбить его на два, одно из которых вопросительное, другое незавершенное: Это просто сообщение? Или...

Мы придерживаемся иной точки зрения: заимствование оказывается востребованным (если не говорить о преходящей моде) тогда, когда оно более точно выражает то или иное значение. Новые слова, в том числе и пришедшие извне, языку необходимы. Точнее, скажем так: они остаются в языке, если они ему нужны, и бесследно исчезают, если не вписываются в его систему. В результате появления новых слов в языке происходит закрепление за каждым из них отдельных, специализированных значений. Более того, в роли терминов заимствования чрезвычайно удобны: ведь почти каждое русское слово на протяжении долгих веков своего существования приобрело множество значений, в том числе и переносных, — а термин обязан быть однозначным. Тут и выручает заимствование.

Многие из подобных слов действительно нужны языку. Ведь донатс не близнец всем известного пончика (который, кстати, в Петербурге называют пышкой) — он покрыт глазурью; маффин и капкейк — особые виды кекса. По тем же причинам когда-то появились (а затем прижились) в русском языке заимствования бутерброд и сэндвич. Пока в нашем обиходе не существовало такого блюда, как «ломтик хлеба или булки с маслом, сыром, колбасой и т. п.», нам и отдельное слово, которым такое блюдо называют, было ни к чему. Кушанье это появилось в России в Петровскую эпоху — тогда же мы усвоили и немецкое слово бутерброд. А сегодня в нашем языке бок о бок, абсолютно не мешая друг другу, сосуществуют бутерброд и сэндвич. Потому что бутерброд не то же самое, что сэндвич, который состоит из двух ломтиков хлеба и проложенных между ними сыра, колбасы и т. п., причём, скорее всего, безо всякого масла.