Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.
Если Вы пишете название латиницей, кавычки не нужны. Если кириллицей, то нужны.
Вместо "акции за запрет", возможно, лучше написать "в акции против чего-либо".
Есть фиксация в терминологических и энциклопедических словарях.
Написание зависит от смысла. Если имеется в виду "чуть-чуть лучше", то следует писать слитно. Если подчеркивается отрицание ("вовсе не намного"), то раздельно.
Верно: необъяснимых (чем?) логикой.
Оба варианта возможны, выбирайте тот, что точнее передает смысл.
Второй вариант предпочтителен.
Здесь следует писать раздельно: и так.
Правильно: в проекте, казавшемся. Это предложный падеж, поэтому пишем е, в творительном падеже пишется и: проектом, казавшимся. Правописание можно определить по вопросу: какОм – казавшЕмся, какИм – казавшИмся.
