Правильно: к Пелагее. О склонении фамилий и личных имен читайте в «Письмовнике».
В русском языке женские личные имена, оканчивающиеся на -а или -я, как правило, склоняются.
Корректно: Ваши компетентность, высокая степень личной ответственности и в дальнейшем будут способствовать развитию города.
Правильно: часть его. Формы личных местоимений 3-го лица с начальным н употребляются после предлогов.
Мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной, не склоняются.
Это глаголы второго спряжения (определяем по ударным личным окончаниям). См. подробнее в «Горячей десятке вопросов».
Склонять нужно только мужскую фамилию Мешкой. Рекомендации см. здесь: Особенности склонения фамилий и личных имен.
Глагол побриться есть в русском языке, его личные формы – побреюсь, побреешься, побреется, побреемся, побреетесь, побреются.
Да, нераспространенные определения, относящиеся к личным местоимениям, обособляются: Люди, простите меня, грешную, что такое говорю.
