Женский род: кроссовка.
Верно: астанский (от Астана).
Словарная рекомендация: палета (женский род).
Гонки на лошадях - нехарактерное для русского языка выражение.
Употребление существительного ястребы в значении 'об агрессивно настроенных сторонниках усиления военной мощи государства' уже нельзя назвать новым, непривычным. Оно приведено в словарях русского языка; слово ястребы давно и активно используется в этом значении в публицистической речи. Поэтому нет необходимости заключать это слово в кавычки.
Верно: финский дизайнер. Правила см. в "Письмовнике".
Корректно: Еспер (вспоминается датский лингвист Отто Есперсен).
Это существительное двуродовое (мужской и женский грамматический род).
Правильно: Кара́чи (город в Пакинстане), кара́чинский.
Можно выбрать средний или женский род. На Ваш вкус.
