Если это однородные члены предложения, то их, как правило, требуется разделять запятой.
Нет, здесь запятая не нужна.
Правильно в именительном падеже мн. числа: серверы, веера.
Правильно: притом, союз (он работает и притом учится), но местоим. при том (при всём при том).
Об оптимальной постановке знаков препинания в этом предложении трудно говорить без контекста.
Запятая требуется: Уже тренируются и дети, и взрослые.
Ваш вариант постановки знаков соответствует правилам, но с коммуникативной точки зрения вызывает вопросы разрыв прямой речи перед несогласованным определением с крышей, относящимся к существительному дом. Рекомендуется контактная позиция этого определения: «Построй нам дом с крышей, — просили они, — и дай нам тень и прохладу в лето и в зиму тепло».