В словарях современного русского литературного языка такого глагола нет.
Его можно найти в текстах XIX — начала XX века. Теперь это слово считается устаревшим. Авторы художественных произведений могут использовать глагол развеселять для стилизации, но в обычной речи его лучше не употреблять.
Запятая нужна.
Обстоятельственные обороты с разрешения (кого-либо, чего-либо, чьего-либо) могут обособляться с целью интонационно-логического выделения. Таким образом, запятая после слова разрешения факультативна, решение о ее постановке/непостановке принимает автор текста.
Пунктуация верна.
Это словосочетание корректно.
Запятая после слова сообщить нужна.
Возможны оба варианта.
Тире не требуется.
Правильное написание: онлайн (онлайн-обучение, онлайн-голосование, онлайновый).