Двоеточие не требуется, так как прямая речь является членом предложения — замещает собой позицию дополнения при глаголе буркнуть. Правило об использовании прописной или строчной буквы в подобных случаях не сформулировано в справочниках. См. также ответ на вопрос № 326618.

Если важно, каким именно словом ответили родители, нужно оформить прямую речь в кавычках: Родители ответили: «Да!» Если важно только общее содержание ответа родителей (согласие может быть выражено разными средствами), такое оформление не нужно: Родители ответили: да.

В конце фразы после закрывающих цитату (или прямую речь) кавычек:

а) ставят точку, если перед закрывающими кавычками нет никаких знаков. Если непосредственно за цитатой следует ссылка на источник, то точка переносится за ссылку:
 

Б. Л. Пастернак подчеркивал: «Самое ясное, запоминающееся и важное в искусстве есть его возникновенье, и лучшие произведенья мира, повествуя о наиразличнейшем, на самом деле рассказывают о своем рожденьи» (Пастернак 2000, 207).

Внимание! Точка всегда ставится после закрывающих кавычек, но не перед ними. Многоточие, вопросительный и восклицательный знак ставятся перед закрывающими кавычками.

б) ставят точку, если цитата не является самостоятельным предложением, а выступает как часть придаточного (даже если перед закрывающими кавычками стоит многоточие, вопросительный или восклицательный знак):

Б. Л. Пастернак подчеркивал, что «самое ясное, запоминающееся и важное в искусстве есть его возникновенье...».

в) не ставят никаких знаков, если перед закрывающими кавычками стоит многоточие, вопросительный или восклицательный знак, а заключенная в кавычки цитата является самостоятельным предложением (таковы, как правило, все цитаты после двоеточия, отделяющего их от предшествующих им слов цитирующего): 

Глава заканчивается словами: «Прощай, философия, прощай, молодость, прощай, Германия!»

См.: 76">http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric76

Ответить на вопрос, почему после того или иного слова требуется та или иная падежная или предложно-падежная форма, можно далеко не всегда. Универсальный ответ: такова литературная норма, так сложилось в языке. Но, обратившись к этимологическим словарям, мы можем узнать, как было раньше, когда изменилась литературная норма (если она менялась), предположить, почему сложилось именно так. А заодно развеять несколько мифов, связанных со словами спасибо и благодарю. Таких мифов немало: и что спаси бог превратилось в спасибо чуть ли не в XX веке, после Октябрьской революции (когда «запретили бога»), и что превращение спаси бог в спасибо – следствие языковой лени, профанации сакрального смысла и т. п.

Начнем со слова благодарю. Прежде всего необходимо отметить, что слово благодарить не было образовано в живой русской речи посредством сложения слов благо и дарить (утверждение «когда-то люди говорили друг другу: "благо дарю вам", а потом это превратилось в благодарю» неверно).  В. В. Виноградов указывает, что благодарить – калькированный по греческому образцу славянизм (ср.: благоговеть, благоволить и др.), другими словами, это слово книжное, искусственное (калька – это перевод по частям иноязычного слова или оборота речи). Управление благодарить кого-либо могло возникнуть под влиянием управления дарить кого-либо. Глагол дарить управляет дательным падежом (дарить кому) в значении 'давать в качестве подарка'; в значении же 'одаривать, удостаивать какими-либо знаками внимания' дарить управляет винительным падежом (дарить кого) – это устаревшая, книжная форма: Веселая девушка ласково улыбалась ему, иногда дарила его парой незначительных слов (М. Горький).

Уже в XVIII веке наблюдались колебания в управлении благодарить кого / благодарить кому. В «Словаре русского языка» XVIII века (Выпуск 2. Л.: Наука, 1985) находим примеры: Кто тебя наказует, тому благодари и почитаи его за такова, которои тебе всякого добра желает (Юности честное зерцало, 1717). Наемной лакей всегда благодарил меня, когда я давал ему в день полтину (Н. Карамзин, Письма русского путешественника, 1791–1792). Также: [Прямиков]: Чувствительно тебя благодарю, мой друг! (В. Капнист, Ябеда, 1794–1798). Таким образом, к концу XVIII века устоялся вариант благодарить кого-либо.

Что касается слова спасибо, то эта самая распространенная в живой речи форма выражения благодарности, действительно, образована от сочетания спаси богъ: после падения редуцированного ъ согласный г оказался в слабой позиции и утратился, т. е. превращение спаси бог в спасибо обусловлено исключительно языковыми причинами. Форма спасибо известна по крайней мере с конца XVI века. Интересно, что даже при более позднем употреблении в прежней форме спаси бог это сочетание уже управляло дательным (!) падежом. В «Житии» Аввакума (XVII в.): Да и мальчику тому спаси бог, которой... по книгу... ходил». (См.: Черных П. Я. Историко-этимологический словарь современного русского языка. – 3-е изд., стереотип. М.: Русский язык, 1999). Дательный падеж после слова спасибо объяснить легко: основное значение дательного падежа в русском языке – дательный адресата, указывающий на объект, к которому направлено действие. Говоря спасибо, мы обращаемся со словами благодарности к какому-либо человеку, адресуем слова благодарности кому-либо.

Обособление оборотов, присоединяемых предлогом на основании, факультативно (о факторах, влияющих на расстановку знаков препинания, см. в «Справочнике по пунктуации»). Окончательное решение принимает автор. В тексте вопроса, о котором идет речь, запятая в предложении присутствовала, не было причин ее убирать.

Достаточно одного многоточия. После слов автора можно поставить запятую, так как прямая речь представляет собой одну фразу, разделенную паузой, действием говорящего: «Завтра в полдень у Новореченской вас будет ждать... — Егор на секунду умолк и поднял на меня глаза, — Филипп».

Возможны варианты пунктуации. Запятая нужна, если слово технический имеет поясняющее значение: именно третий этап является техническим; на третьем, то есть техническом этапе. Запятая не нужна, если поясняющего значения нет: существует несколько технических этапов, речь идет о третьем из них. 

Управление при слове изменение зависит от значения: изменение чего-либо – замена прежнего новым; изменение в чем-либо – перемена, переделка, поправка. Если речь идет о том, что в действующей документ  внесены переделки, поправки, верно: Об утверждении изменений в «Политике информационной безопасности ОАО «***».

В справочниках это правило приводится. Мы слово в слово процитировали справочник Д. Э. Розенталя «Пунктуация» (раздел «Прямая речь перед авторскими словами»). Другое дело, что такой случай пунктуационного оформления встречается нечасто, поэтому многие справочники об этом правиле даже не вспоминают.

Если Енот – собственное имя («фамилие такое») персонажа женского пола, тогда согласование должно быть по женскому роду: Енот проснулась и потянулась; Доброе утро, Енот! Ты выспалась? Такое согласование – единственный способ показать читателю, что речь идет о персонаже женского пола.