В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».

В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.

Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.

Нет, слово проза так в русском языке не используется. Проза — это именно совокупность произведений.

Правильно: по возникающим... вопросам. Запятую перед словами "прежде всего" нужно либо убрать, либо дополнить запятой после слова "органов".

Классикой переводческого искусства стал роман или перевод? Видимо, перевод, следовательно: ...ставшем классикой...

В данном случае корректно использовать прописную букву: «Оказывается, не всё так безоблачно в этом Датском королевстве», — подумал Роман.

Можно сказать: настоящему хай-теку.

Грибок и гриб – это два разных слова, которые, безусловно, являются родственными(однокоренными). Слово грибок образовано от слова гриб с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ок. А вот гриб и грибы нельзя назвать ни родственными словами, ни однокоренными словами, потому что их нельзя назвать словАМИ.  Это одно слово (представленное в приведенном Вами тексте словоформой единственного числа именительного падежа гриб и словоформой множественного числа именительного падежа грибы).

Здесь лучше: ...для ответа на поставленные вопросы и заполнения...

Существует ряд критериев для отнесения слова к той или иной части речи. Это тип лексического значения слова, его грамматические свойства (например, род, число, падеж, лицо и др.), а также типичная синтаксическая функция. Очень условно интересующие Вас слова можно классифицировать как междометия.