Выделение корня в слове подвергнуть зависит от научного подхода к свободным и связанным корням.

Свободными называются корни, которые могут употребляться без сопровождения словообразовательных аффиксов. Свободные корни совпадают с непроизводной основой слова. Например, свободными являются корни окн-, бег-, прав-; они встречаются как в сопровождении аффиксов в составе производных основ (подоконник, побег, направо), так и сами по себе в составе непроизводной основы (окно, бег, правый).

Корни, которые не могут употребляться без сопровождения словообразовательных аффиксов, называются связанными. Например, связанными являются корни ул-, изол-, слад-; они встречаются только в сочетании со словообразовательными аффиксами (уличный, улица, переулок; изоляция, изолировать, изоляционный; сладость, сладкий, услада).

В слове подвергнуть корень является связанным. А. Н. Тихонов считает слова со связанными корнями непроизводными, так как они, в отличие от свободных корней, не имеют производящих, несмотря на наличие словообразовательных аффиксов. Соответственно, по А. Н. Тихонову, слово подвергнуть является непроизводным и имеет корень подверг-.

Возможность вычленения связанных корней была обоснована Е. А. Земской, по мнению которой связанный корень выделяется в тех случаях, когда слово с таким корнем входит в двойные ряды соотношений: в ряд слов с тем же корнем и в ряд слов с тем же аффиксом. Если пользоваться этим критерием, в слове подвергнуть вычленяется корень верг-.

Да, пунктуация верна. В первом случае 17 октября обособляется как уточнение (уточняется, в какую именно среду). Во втором случае в среду обособляется как пояснение (обозначение одного и того же понятия другими словами).

Правильно: в городе Харбине.

См. ответ на вопрос № 297278.

Сочетание "один подряд" стилистически небезупречно, хотя сама по себе предложенная Вами фраза понятна и возможна. 

Согласно рекомендациям в справочнике Д. Э. Розенталя, ставится тире перед распространенным приложением, стоящим в конце предложения, если дается разъяснение или перед приложением можно вставить а именно. Поэтому мы рекомендуем поставить тире: ...беседуем с одним из ведущих специалистов в этой области – профессором Йельского университета Ивановым.

Правильно: согласно договору подряда. Склоняется только слово договор. Слово подряд зависит только от слова договор: договор подряда.

Форма родительного падежа множественного числа: утр. Правильно: несколько утр.