Верно написание строчными буквами, если это нарицательное наименование. В собственном наименовании первое слово пишется с большой буквы: Московский театр эстрады.

Официальное название документа: Конституция США. Сочетание "американская конституция" (неофициальное наименование) пишется строчными буквами. Правильно: р. п. - билля.

Такие названия предпочтительно заключать в кавычки. В наименовании, построенном по модели «слово, написанное кириллицей, + слово, написанное латиницей» (слагаемые могут располагаться в любом порядке), оформленное кириллицей слово необходимо, с одной стороны, отделить от остального кириллического текста и, с другой стороны, объединить со словом, написанным латиницей, для того чтобы читатель понял, что перед ним цельное наименование. Обе эти функции как раз и выполняют кавычки.

Интересный вопрос. Разница, прежде всего, в том, что Московская область – наименование субъекта Федерации (см. статью 65 Конституции Российской Федерации); слово Подмосковье такого статуса не имеет. Поэтому в официально-деловой речи будет употребляться сочетание Московская область, но не слово Подмосковье: правительство Московской области, Министерство финансов Московской области.

Однако в неофициальной письменной речи, в публицистике и тем более в устной речи слово Подмосковье свободно употребляется как синоним словосочетания Московская область, для обозначения более близких к Москве городов и более отдаленных употребляются сочетания ближнее Подмосковье и дальнее Подмосковье. Другими словами, понятия Подмосковье и Московская область идентичны, можно говорить лишь о том, относится ли тот или иной город Московской области к ближнему или дальнему Подмосковью.

Это название следует считать грамматически освоенным, его склонение (согласование) вполне уместно.

Правильно так: Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Тольяттинский медицинский колледж» (ГОУ СПО «Тольяттинский медколледж»). Название в кавычках не склоняется: Государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования «Тольяттинский медицинский колледж», Государственному образовательному учреждению среднего профессионального образования «Тольяттинский медицинский колледж» и т. д.

Все слова в этих выражениях пишутся строчными буквами. С большой буквы пишется официальное наименование: Министерство культурного достояния и культурной деятельности Итальянской Республики.

После слов с уважением запятая ставится. Названия должностей пишутся со строчной буквы, с прописной буквы пишутся названия высших государственных должностей и титулов в официальных текстах.

Правильно склонять. Подробнее см. в "Письмовнике".

Вершининская средняя общеобразовательная школа – реальное собственное имя (не условное наименование). Такие имена собственные пишутся без кавычек, например: Вершининская средняя общеобразовательная школа основана в ... году. Однако если реальные собственные имена употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы), они заключаются в кавычки. Правильно:  МОУ «Вершининская средняя общеобразовательная школа». См. подробно в «Письмовнике»: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).