Слово БОМЖ может быть написано прописными буквами (как аббревиатура), однако данный вариант является канцелярским (употребимым в официально-деловой речи), причем в этом случае БОМЖ – неизменяемое слово.

В значении 'лицо без определенного места жительства, бродяга' слово бомж пишется строчными буквами и склоняется. Правильны оба варианта: бомжи  и бомжи.

1. Вот что написано о словах с суффиксом -ниц(а) в академической «Русской грамматике» 1980 года: Существительные с суф. -ниц(а)... мотивируются названиями лица на -тель (преимущественно с суф. -тель): свидетельница, председательница, изобретательница, учительница, исполнительница, слушательница, обладательница, первооткрывательница. Все слова этого типа имеют модификационное знач. лица женского пола.

Таким образом, с помощью суффикса -ниц(а) может быть образовано одушевленное существительное, обозначающее лицо женского пола. О команде правильно: команда-победитель.

2. Слово спам не является аббревиатурой и пишется строчными буквами. В английском языке, из которого к нам пришло это слово, оно, действительно, первоначально было образовано как аббревиатура от SPiced hAM ('острая ветчина'). Однако уже в английском языке  это слово со временем перестало восприниматься как аббревиатура,  в результате чего применительно к назойливой рекламе закрепилось написание строчными буквами.

Правило, о котором Вы говорите, касается существительных со значением лица по роду занятий. Такие существительные, называющие лицо или предмет, производящий действие, образованы с помощью суффикса -чик/-щик и мотивированы они, как правило, глаголами: перевозить – перевозчик, переплетать – переплетчик, обходить – обходчик, обмануть – обманщик. В таких словах, действительно, суффикс -чик пишется только после согласных Д, Т, З, С, Ж; после других согласных пишется суффикс -щик.

Теперь о слове шкафчик. В нем выделяется суффикс -чик, имеющий совершенно другое значение (т. е. здесь перед нами суффиксы-омонимы). Существительные, образованные с помощью данного суффикса -чик, имеют уменьшительное значение и мотивированы они именами существительными: шкаф – шкафчик, сарай – сарайчик, рукав – рукавчик, тулуп – тулупчик, костюм – костюмчик, стакан – стаканчик, самовар – самоварчик, стул – стульчик. Суффикса -щик здесь быть вообще не может.

Что касается других слов из данного задания ЕГЭ, то ни в одном из них нет суффикса -чик. В словах огурчик и мячик  выделяется суффикс -ик, а в слове пончик -чик является частью корня.

Можно писать с большой буквы, если автор текста мыслит, что он в каждом экземпляре документа обращается к одному, пускай неконкретному, лицу.

Правильно использовать чужое.

Как правило, употребляется вариант с предлогом.

В приведенных примерах с прописной буквы начинаются не слова автора в традиционном их понимании.

Словами автора принято называть синтаксические конструкции, которые вводят прямую речь: они содержат глагол со значением речи-мысли (говорить, сказать, воскликнуть и т. п.) или обозначают внутренние чувства говорящего, его ощущения, внутреннее состояние (вспомнить, обрадоваться, огорчиться и т. п.).

Такое пунктуационное оформление (тире, прописная буква и отсутствие абзаца) принято для текста автора, относящегося к говорящему лицу, но при этом не служащего для введения прямой речи.

Ваши оппоненты правы. Слова автора, стоящие после прямой речи или внутри прямой речи, в любом случае пишутся со строчной буквы. Точка после прямой речи, стоящей перед авторскими словами, не ставится, а вот многоточие (в том числе в сочетании с вопросительным или восклицательным знаком) возможно. Подробно о правилах пунктуации при прямой речи см. здесь.

Ипостась – лицо, лик, облик, образ, роль.

Существует ряд критериев для отнесения слова к той или иной части речи. Это тип лексического значения слова, его грамматические свойства (например, род, число, падеж, лицо и др.), а также типичная синтаксическая функция. Очень условно интересующие Вас слова можно классифицировать как междометия.