Оба варианта корректны.
Фамилия Подорожний склоняется следующим образом: - Именительный падеж (кто? что?) - Подорожний. - Родительный падеж (кого? чего?) - Подорожнего. - Дательный падеж (кому? чему?) - Подорожнему. - Винительный падеж (кого? что?) - Подорожнего. - Творительный падеж (кем? чем?) - Подорожним. - Предложный падеж (о ком? о чём?) - о Подорожнем.
Правильно слитное написание, кавычки не нужны: сюда лучше приезжать в несезон.
Правильно: В связи с 80-летием (чего?) детского дома.
Корректно: свидетельство выдано такому-то, группа такая-то, факультет такой-то.
Это обстоятельство (в знач. "в таком случае").
Эту фамилию можно воспринять и как имеющую окончание -ый и, следовательно, склоняющуюся как прилагательное (Шарого, Шарому, ср.: ярого, ярому), и как имеющую нулевое окончание со склонением по образцу существительных (Шарыя, Шарыю). Здесь право выбора – за носителем фамилии.
Предпочтительно оформить эти слова как прямую речь (с использованием кавычек).
