У глаголов весить и вешать разное значение. Весить – иметь какую-либо тяжесть (сколько весит этот груз?), вешать – определять массу, взвешивать (это разговорный глагол). Крылатая фраза из рекламного ролика – сколько вешать в граммах?

Слово вообще-то может выделяться запятыми как вводное. Однако при противопоставлении предложений или частей предложения запятые не ставятся, ср.: Я вообще-то не люблю купаться, но в такую жару хочется окунуться. См. в «Справочнике по пунктуации».

Лучше всего отправить Ваш вопрос специалистам отдела этимологии и ономастики Института русского языка им. В. В. Виноградова: http://ruslang.ru/node/570

Почему же, мы честно упоминаем "вышеупомянутый справочник".

А что Вы подразумеваете под "современными источниками" (кстати, верно: согласно источникам)?

Объяснение из Вашего учебника ближе к истине, чем объяснение Р. П. Рогожниковой, хотя оно также довольно путаное: дело в том, что союз И функционирует здесь именно в составе оборота И В ЧАСТНОСТИ, поэтому нельзя рассматривать по отдельности пунктуацию при союзе И и пунктуацию при словах В ЧАСТНОСТИ.

В действительности слова в частности могут выступать в обстоятельственном значении (как наречие "особенно, отдельно"), и в этом случае их не нужно обособлять, например: Я рассказал о поездке в целом и о достопримечательностях Москвы в частности.

Однако гораздо чаще слова в частности употребляются как вводные. При этом разграничивают два случая употребления вводных слов: 1) в составе обособленного оборота (в данном случае - уточняющего): Многие страны, и в частности Алжир, нуждаются в экономической помощи... 2) в качестве самостоятельного вводного выражения: В книге помещен, в частности, интересный очерк о жизни и деятельности ученого.

Как можно заметить, именно последние два случая и нуждаются в разграничении. Как лучше их разграничивать в учебных целях - вопрос методический, вопрос открытый.

Слово идти многозначно, и одно из значений очень широкое – 'двигаться, перемещаться в пространстве' (примеры из словаря: Поезд идёт. Баржа идёт по реке. Идти под парусом. Груз идёт морем. Идти на вёслах). Поэтому приведенная Вами фраза не ошибочна. 

Употребляются варианты Гагра и Гагры (второй вариант отражен в названии известного фильма «Зимний вечер в Гаграх»). Но словарями русского языка зафиксировано: Гагра, такое же название употребляется в картографических изданиях Росреестра. Это склоняемое существительное: поехать в Гагру, отдыхать в Гагре, сказочная Гагра.

Эти слова не однокоренные и даже не родственные. Балласт — из нидерландского ballast или нижненемецкого ballast, восходит к старошведскому barlast < bar ‘пустой’ + last ‘груз’. Баланс — от французского balance ‘весы’, восходит через посредство итальянского bilancio ‘весы, равновесие’ к латинскому bilanx ‘из двух чаш’.