Если помнит тоже относится к городу, фразу надо править. Корректно: Сказал, что помнит город своего детства и скучает по нему.
Слова по странной случайности могут обособляться с целью интонационно-логического выделения. Решение принимает автор текста.
Запятая поставлена правильно.
Правильно: на реке Туре. О склонении географических названий см. в «Письмовнике».
Верно: В игру "Веселая катапульта" были внесены... В непринужденной разговорной речи допустим вариант: В "Веселую катапульту" были внесены... Название игры обязательно заключается в кавычки.
Верно: Я приехал в город Москву.
Верно: поеду в город Москву. Но лучше в этом предложении слово город не употреблять: Поеду в Москву.
Сказуемое в книжно-письменных стилях (особенно в строгой официально-деловой речи) ставится в форме мужского рода, если оно предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя»: В комнату зашел секретарь Екатерина Ивановна. Сказуемое ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Секретарь Екатерина Ивановна зашла в комнату. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Между Москвой и Екатериной Ивановной всё-таки есть важное различие: существительное Москва не называет лицо женского пола.
Литературная норма требует склонять русское название в сочетании с родовым словом город: в городе Удачном.
Союз и соединяет однородные сказуемые, запятой перед ним быть не должно. И в академических изданиях Пушкина ее нет. См.: Пушкин А. С. Дубровский // Пушкин А. С. Полное собрание сочинений: В 10 т. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1977—1979. Т. 6. Художественная проза. — 1978. — С. 142—209 и в электронном виде на портале «Фундаментальная электронная библиотека».
Если имеется в виду город Стаханов, то верно: В Стаханове открылась новая фабрика.
