Правило таково: в сочетаниях с приложением, если одна из частей в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, употребляется тире.

Правильно: врач-хирург, врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. (сочетания с приложением). Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то перед ней употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог. Аналогично: женщина-врач, но женщина – врач-хирург.

Правильно: по-нью-йоркски (ср.: по-социал-демократически, по-жюль-верновски).

Сочетания муниципальное образование и городской округ должны быть согласованы в падеже (иными словами, употребляться в одном и том же падеже), поскольку городской округ с точки зрения синтаксиса – это приложение. Ср.: птица иволга.  

Что касается кавычек и других знаков. Здесь возможны следующие варианты оформления:

• муниципальное образование – городской округ Усинск;
• муниципальное образование «Городской округ Усинск».

Причем при использовании кавычек заключенная в них часть названия не будет склоняться: администрация муниципального образования «Городской округ Усинск».

На постановку запятой во фразе "Больше, чем просто планшет". влияет первая часть слогана: Лучше, чем просто компактный. Фраза представляет собой свернутое высказывание со сравнением: "(Этот планшет) лучше, чем просто компактный (планшет). Поэтому продолжение фразы в таком контексте читается как "(Этот планшет может) больше, чем просто компактный планшет". Но в целом - это лингвистические тонкости. Суть же в том, что постановка запятых в этом слогане не ошибочна, а оправданна контекстно.

Предикат – 1) понятие, определяющее предмет суждения – субъект – и раскрывающее его содержание (в логике); 2) то же, что сказуемое (в лингвистике).

Предикативы (предикативные наречия) – в лингвистике: особая группа слов, стоящих вне традиционной системы частей речи и обозначающих нединамическое состояние, например: Надо ехать. Мне жаль. Ты не рад? Слова надо, жаль, не рад – предикативы. Некоторые лингвисты считают предикативы самостоятельной частью речи, но «официального» статуса часть речи предикативы все же не имеют.

Вообще говоря, лень – существительное. Однако в предложениях типа Ему лень. Лень вставать и пр. лень правильнее назвать предикативом. Предикативы (предикативные наречия, категория состояния) – особая группа слов, стоящих вне традиционной системы частей речи и обозначающих нединамическое состояние, ср.: Надо ехать. Мне жаль. Ты не рад? Слова надо, жаль, не рад, лень – предикативы. Некоторые лингвисты считают предикативы самостоятельной частью речи, но «официального» статуса часть речи предикативы всё же не имеют.

Использование что в значении 'который' вполне корректно, в том числе по отношению к названиям лиц. Сложно назвать такое употребление новым, ср., напр.: И та, что сегодня прощается с милым, — Пусть боль свою в силу она переплавит (А. Ахматова); «А подвела, — радостно объяснил ему парень, что стоял рядом, — не приехала» (Ю. Домбровский). Другое дело, что такое употребление более характерно для художественных текстов, чем для публицистических.

Это несколько разные случаи. Сочетание я думаю во втором примере вводное, выражающее неуверенность говорящего: Я думаю, я понимаю тебя. В первом примере сочетание я знаю можно понять как вводное, подчеркивающее уверенность говорящего (вводное сочетание легко меняет позицию, сравним: Ты, я знаю, хочешь), а можно — как первую часть бессоюзного сложного предложения с изъяснительными отношениями, которая прочитывается с интонацией предупреждения; в этом случае нужно двоеточие: Я знаю: ты хочешь.

После глагола выявить запятая нужна, так как далее начинается придаточная изъяснительная часть, зависящая от этого глагола. Обратите внимание, что деепричастный оборот основываясь на функциональном строении мозга образует не предусмотренную автором связь со сказуемым может сказываться. Рекомендуется отредактировать предложение, например: Нейропсихологическая диагностика, которая основывается на функциональном строении мозга, помогает выявить, с какими высшими психическими функциями (внимание, восприятие, память, речь, мышление) у ребенка есть трудности, что может сказываться на учебном процессе.

Причастным оборотом называют причастие с зависимыми словами (пусть даже и составляющими целое предложение). Кроме того, запятая перед словом ищущие ставится не на том основании, что это причастный оборот, а на том, что это распространенное постпозитивное определение. При двойном разборе следует подчеркнуть волнистой линией конструкцию ищущие, что посмотреть в России самого необычного и даже мистического, но при этом выделить отдельные члены в предложении что посмотреть в России самого необычного и даже мистического.