Это сочетание может употребляться с глаголом слушать как обстоятельство образа действия (=внимательно), и в этом случае оно не обособляется, например: Мальчишки деревенские появлялись в сумерках у костра с наворованной картошкой за пазухой и до ночи просиживали, слушали навострив уши, не хуже Степки, тем более что рассказы деда Васи чаще всего для ребят были самые неподходящие. [Федор Кнорре. Каменный венок (1973)] — здесь сочетание ведет себя подобно фразеологизмам (бежать) сломя голову или (работать) засучив рукава. Но в большинстве случаев сочетание употребляется в контекстах, где речь идет о животных, и сохраняет глагольное значение, например: Поросята, навострив уши, стали сбегаться к девочке, мальчишки, изловчившись, хватали их за ноги и водворяли обратно в корзины и ящики. [А. И. Мусатов. Зелёный шум (1963)]

В контекстах, где речь идет о людях, сочетание тоже может сохранять глагольное значение, называя некое внутреннее усилие; в этом случае оно часто бывает однородно с другим деепричастным оборотом, также обозначающим внутреннее состояние: Рынды князя, стражники на валах, вратари в бойницах замерли, навострив уши и ожидая, чего станут говорить князья. [Алексей Иванов. Сердце Пармы (2000)]; Оказавшись наконец у стены, он на секунду замер, навострив уши и прислушиваясь то ли к часовому на вышке, то ли к своему колотящемуся сердцу, а потом рванул что было сил туда, откуда доносился веселый гомон. [Андрей Геласимов. Степные боги (2008)].

Да, это склоняемая фамилия. Все фамилии, оканчивающиеся на сочетание «согласный + а» (кроме французских фамилий на ударный -а, типа Дюма), склоняются.

Едва ли сочетание (быстро)развивающийся мир является терминологическим сочетанием, указывающим на тип мира (сравним: вечнозеленые растения — тип растений, крупномолотый перец — тип приправы), а значит, здесь возможно только раздельное написание наречия и причастия: быстро развивающийся мир.

Правильный вариант: Представляем генерального спонсора забега «Ласковый май» — девелоперскую компанию «Люди». Обратите внимание, что условное наименование мероприятия (забега) заключается в кавычки, а сочетание девелоперская компания пишется со строчной буквы.

Сочетание часто по вечерам относится только к первой части сложносочиненного предложения. Во второй части есть своё обстоятельство времени — всегда.

Сочетание вместе с тем не вводное, запятая после него не ставится:  Вместе с тем если должник знал, что владелец ценной бумаги не является надлежащим обладателем права на ценную бумагу, он обязан возместить убытки, причинённые правообладателю.

Если речь идет о пресс-конференции, одновременно являющейся докладом, то сочетание возможно. По правилам координации его следует писать через тире, поскольку первая часть содержит дефис: пресс-конференция — доклад.

Сочетание не скучно, которое используется в значении сказуемого, пишется раздельно: У нас не скучно!

Сочетание объявить предостережение напомнило о существовании выражения вынести предостережение. Эти речевые обороты используются в правовой сфере, следовательно, их терминологическое значение и особенности употребления нужно обсуждать со специалистами в сфере права.

Сочетание в том числе синонимично предлогу включая (см. «Большой универсальный словарь русского языка») и выражает тот же смысл, что и имеющееся в предложении причастие включающая. Рекомендуем убрать сочетание в том числе из текста.