Слово казалось может являться вводным, но необязательно. В приведенном случае это сказуемое в главной части сложноподчиненного предложения.

Обратите внимание, что главное предложение не является безличным.

Точка ставится перед скобкой.

Да, вынуть – единственное в русском языке слово без корня. Когда-то в этом слове корень был, но утратился вследствие исторических преобразований. Слово появилось по аналогии с глаголами на -нуть (типа двинуть) на базе вынять, производного от яти  'брать' (от него же образован и глагол взять).

Слово пользование есть в русском литературном языке, но характерно скорее для деловой, канцелярской речи (ср.: пользование электроэнергией, разрешение на пользование оружием, взять землю в личное пользование, места общего пользования). Слово использование более нейтральное. Поэтому из двух приведенных Вами вариантов (верных с точки зрения грамматики) мы бы выбрали условия использования сайта.

В школе безударные гласные на конце глагольной основы перед -ть проверять не учат. Правила их проверки сформулированы были относительно недавно, и они достаточно сложные для применения. В школе сложилась методическая традиция обходиться без правила. Дети благодаря языковой интуиции чувствуют, какую гласную нужно писать перед -ть, и ошибки здесь возникают редко. Слов, в которых ошибки встречаются, немного.

Если мы не помним точно, какая гласная пишется в инфинитиве, то ее нужно проверить по словарю. При этом некоторые простые правила о гласных перед -ть запомнить можно. 

1. В инфинитиве после гласной о пишется -ить, например: стоить, строить, удостоить, присвоить. 

2. В инфинитиве после гласных а, е, у пишется -ять, например: лелеять, маяться. Исключения: драить, клеить.  

Слов, относящихся ко второму правилу, немного, поэтому некоторым удобнее запоминать не правило, а сложные глаголы: 

1) баять, веять, лаять, реять, сеять, таять, хаять (сниж.), чаять, чуять, блеять, лелеять, затеять, маяться, каяться, надеяться,

2) драить, клеить, 

3) кашлять.

Заучивая глаголы, важно помнить, что при присоединении приставки или постфикса гласная перед -ть не меняется: клеить — заклеить, клеиться.

3. Особую группу составляют глаголы с приставками обез-(обес-). Нужно научиться различать слова по значению: обессилить (лишить кого-то сил) — обессилеть (лишиться сил), обезводить (лишить воды) — обезводеть (лишиться воды).

Это форма винительного падежа. Известно, что у одушевленных существительных во множественном числе винительный падеж совпадает с родительным. Рассматриваемые конструкции – единственное в русском языке отступление от последовательного выражения одушевленности: у слов – названий лиц в составе фразеологизированных конструкций типа идти в солдаты, взять (кого-либо) в курьеры, пойти в няньки, годиться в отцы винительный падеж совпадает с именительным.

Глаголы обхватить и охватить представлены в первых своих  значениях как синонимы не только в словаре С. А. Кузнецова, но и в словаре под ред. Д. Н. Ушакова, в словаре С. И. Ожегова и некоторых других. Здесь даётся устаревший взгляд на соотношение этих глаголов, современная лингвистика рассматривает их не как синонимы, а как паронимы (то есть слова, имеющие схожее написание и  произношение, но разные значения). Поэтому в современном русском языке нельзя сказать он охватил колени руками, охватил стакан, медведь охватил ствол, пламя обхватило дом, толпа обхватила дерущихся и т. п. – это всё устаревшие употребления, пришедшие из XIX века. В современном языке синонимичность сохранилась только в одном значении: «плотно облечь, расположившись вокруг», то есть можно и обхватить, и охватить предмет обручем, кольцом, ремнём, поясом и т. п.
Оба глагола с течением времени существенно разошлись семантически. За глаголом обхватить осталось значение механического действия «заключить в сомкнутые руки, кисти рук» (обхватить стакан, ствол,  голову), что распространяется также на животных: медведь обхватил ствол дерева, осьминог обхватил добычу щупальцами и т. п.
Глагол охватить имеет более широкую семантику, которая далеко отходит от первоначального механического действия в область физических явлений «заполнить собой, поглотить» (пламя охватило постройку, нас охватил туман) и далее в сферы пространственных представлений (эпидемия охватила ещё один регион, волнения охватили всю страну, все сотрудники института охвачены подпиской на газеты, компьютеризация охватила все школы); органов чувств (тишина охватила поля, заря охватила полнеба, нас охватил холод); эмоциональные сферы (нас охватила радость, женщину охватило дурное предчувствие, всех охватили сомнения); ментальные сферы (охватить сознанием бесконечность Вселенной, охвати умом противоречия, статья охватывает весь круг поставленных задач).
Представленная здесь информация не исчерпывает всей полноты развития семантики глагола охватить, лишь дает представление о многообразии его значений, что свидетельствует о паронимических, а отнюдь не синонимических связях с глаголом обхватить.

(В ответе использован материал словарных статей Обхватить и Охватить из находящегося в работе "Словаря русского языка XXI века" под ред. проф. Г. Н. Скляревской.)

В сочетании со словом проведение слово руководство воспринимается как обозначение процесса, отсюда желание использовать форму тв. падежа: руководство (чем?) проведением. Ср.: взять на себя руководство поисковыми работами, доверить кому-либо руководство институтом. Слово руководство в значении 'руководители' сочетается с формами род. падежа наименований организаций: руководство (чего?) Союза писателей, театра, института. Поэтому о руководителях лучше сказать: руководство конкурса. Смысл выражения при его сокращении сохраняется.

И все же стилистические оценки следует давать, основываясь на рекомендациях современных словарей.

Большой толковый словарь

ФОТО, неизм.; ср. Разг.
=Фотография (2 зн.). Старинные ф. Взять ф. в рамку. Чьё это ф.? - Моей матери.

В предложении, которое Вы предлагаете нам разобрать, присутствует такое явление, как эллипсис (пропуск слова, члена предложения). Именно к пропущенному слову "игр" и относится определение "компьютерных".

1. При обозначении года без употребления слова год рекомендуется использовать наращение: в 2015-м я сделал… 2. Слово год надо выделить курсивом или взять в кавычки, потому что оно в данном случае не является обозначением временного отрезка, а воспроизводит элемент лексической системы языка. 3. Правила устанавливают случаи, когда употребление буквы ё является обязательным. В остальных случаях ее употребление остается на усмотрение автора текста или издателя.