Это слово зафиксировано в академическом орфографическом словаре в дефисном написании: гейм-дизайн. 

При колебаниях между слитным, дефисным и раздельным написанием частей заимствованных сложных слов следует предпочесть слитное в том случае, если на современном этапе жизни языка в этом слове нельзя выделить самостоятельного корня, дефисное – если относительной самостоятельностью обладает лишь одна из частей такого слова, и раздельное – если обе части такого слова уже приобрели полную лексическую и грамматическую самостоятельность. Так, слово яхтсмен пишется слитно – потому, что его невозможно разъять на отдельные части, а слово яхт-клуб пишется через дефис – потому, что часть клуб известна в русском языке в качестве вполне самостоятельного слова, а вот отдельной части яхт не существует. Если написать яхт клуб раздельно, то у этого сочетания обнаружится уже совершенно иное значение: клуб (чего?) яхт (родительный падеж множественного числа существительного яхта).

Правило гласит:

"Слитно пишутся сложные слова с первой иноязычной (интернациональной) частью, кончающейся на гласную. Перечень основных таких частей сложных слов:

• с конечным о: авто-, агро-, астро-, аудио-, аэро-, баро-, бензо-, био-, вело-, вибро-, видео-, гекто-, гелио-, гео-, гетеро-, гидро-, гомо-, дендро-, зоо-, изо-, кило-, кино-, космо-, макро-, метео-, микро-, моно-, мото-, невро-, нейро-, нео-, орто-, палео-, пиро-, пневмо-, порно-, психо-, радио-, ретро-, сейсмо-, социо-, спектро-, стерео-, термо-, турбо-, фито-, фоно-, фото-, эвако-, экзо-, эко-, электро-, эндо-, энерго-;
• с конечными а, е, и: авиа-, дека-, мега-, медиа-, тетра-; теле-; деци-, милли-, поли-, санти-;
• с двумя и более такими частями: аэрофотосъёмка, гидрогеохимический, метеорадиозонд, радиотелеуправление, спектрогелиограмма, фотокиносъёмочный, электрорадиооборудование; автомотовелогонки, астроспектрофотометрия, палеофитогеографический.

Однако вполне можно представить себе ситуацию, когда речь идет не о гонках, в которых участвуют три вида транспорта, а о перечислении гонок разного типа. Тогда уместно использовать висячий дефис: авто-, вело- и мотогонки.

Действительно, иногда имя, прозвище, определение создается из предложно-падежного или глагольного сочетания и, чтобы графически показать единство многословной номинации, слова соединяют дефисами. Однако это лишь художественный прием и орфографический эксперимент, в некоторых случаях оправданный большой длиной имени и необходимостью показать его правую границу. В широко известных руководствах по правописанию можно найти примеры оформления подобных имен: Петушок со шпорами, Некто в сером. В недавно вышедшей научной работе по правописанию в разделе о прописных и строчных буквах предложено правило для подобных названий, дефис в соответствии с орфографической традицией в них не используется: 

В именах персонажей, выраженных предложно-падежным сочетанием или глагольным сочетанием, с прописной буквы пишется только первое слово, напр.: Рике с хохолком, Кот в сапогах, Кот в шляпе, Некто в сером, Петушок со шпорами, Двое из ларца, одинаковых с лица, (лиса) Принеси огня. (Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова. Прописные и строчные буквы в собственных именах. Общеупотребительные графические сокращения. М., 2023.)

Увы, такое прилагательное не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Правило гласит, что "пишутся через дефис прилагательные, образованные из двух или более основ слов, обозначающих равноправные понятия, напр.: выпукло-вогнутый, садово-огородный, научно-технический, общественно-политический, прядильно-ткацкий, административно-командный, мясо-молочный, звуко-буквенный, фарфоро-фаянсовый, приходо-расходный, спуско-подьёмный, азотно-калийно-фюсфюрный, бело-сине-красный (флаг), чёрно-белый, англо-русский, японо-китайский, афро-азиатский, волго-камский, урало-сибирский, кирилло-мефодиевский". Однако из этого правила имеется много исключений. Так, пишутся слитно, несмотря на равноправное по смыслу отношение основ, прилагательные глухонемой, буровзрывной, пароводяной, водовоздушный, газопаровой, газобензиновый, нефтегазовый, тазобедренный и др. Слитному написанию таких слов способствует отсутствие в первой основе суффикса относительных прилагательных (−н-, −енн-, −ое-, −ск- ).

Орфографический словарь-справочник Б. З. Букчиной и Л. П. Какалуцкой "Слитно или раздельно?" (М.: Русский язык, 1998) предлагает слитное написание сливоналивной, однако нужно иметь в виду, что это авторский, а не нормативный лексикографический источник. В практике письма тем не менее явно преобладает дефисное написание сливо-наливной. 

Написание слова мото-час подвели под правило: сложные единицы измерения, независимо от того, образованы ли они при помощи соединительных гласных или без них, пишутся через дефис (ср.: человеко-день, тонна-километр, киловатт-час). Это правило в целом является исключением из правила о сложных существительных, которые при наличии соединительной гласной пишутся слитно. В практике письма слово мото-час, видимо, чаще употреблялось в слитном написании, что соответствовало общему правилу. Возможно, лингвисты, фиксируя слово в орфографическом словаре впервые (это произошло в 1974 г.), видели, что написание подобных единиц измерения плохо подчиняется правилу. Если в 1956 г. было отмечено одно исключение трудодень, в 1967 Д. Э. Розенталь добавляет трудочас, позже в правилах фиксируется тоннажесутки. Из-за неустойчивости этой области письма, увеличения числа исключений, соответствующих общему правилу, лингвисты в начале ХХI в. предложили отказаться от правила-исключения и писать единицы измерения слитно. Однако проект, содержавший это предложение, был категорически отвергнут обществом, не принят на государственном уровне, и лингвистам пришлось перекодифицировать слово, подчинив его правилу-исключению.

Написание сложных существительных с не употребляющейся самостоятельно первой частью на согласную определяется по орфографическому словарю. Единого правила для таких слов нет, написание иноязычных слов кодифицируется не только по правилам, но и по употреблению, распространенному на момент вхождения слова в словарь. Этим могут объясняться отличия в написании слов с одной общей частью.

Есть многие внутренние причины, способствующие различиям в написании. Например, между словами фастфуд и фуд-сервис, фуд-шоу, фуд-фотограф и др. есть большая разница: слова сервис, шоу, фотограф существуют в самостоятельном употреблении, а фуд и фаст самостоятельно в русском языке не используются. Это влияет на орфографию слов. Для первой части сложных слов фуд-... закрепилось дефисное написание.

Можно предположить, что стритфуд будет кодифицировано в слитном написании — и под влиянием слова фастфуд, и под влиянием других слов с начальной частью стрит..., где вторая часть самостоятельно не употребляется, ср.: стритбол, стритстайл. Такой же прогноз можно сделать и для слова фанфуд. Но ср.: стрит-рок, фан-клуб (обе части самостоятельно употребляются, и появляется дефис).

Специального ГОСТа о написани дат нет, как нет и универсальных правил для всех типов текстов.  Рекомендации такого рода даются в книге А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой «Справочник издателя и автора», например возможны и 2000 год, и 2000 г. Выбор формата даты в статьях обычно делается в редакции. Чтобы узнать, существуют ли требования к оформлению дат в каких-то определенных типах текстов, документов, нужно обращаться к соответствующим ГОСТам. Например, регламентируется формат дат в ГОСТ Р 7.0.8-2013 «Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Делопроизводство и архивное дело. Термины и определения», ГОСТ Р 7.0.97-2016 «Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Организационно-распорядительная документация. Требования к оформлению документов».

В рассматриваемом сочетании соединены сочинительной связью прилагательное электронная и первая часть сложного слова аудио. В справочниках подобные примеры отсутствуют, но в научных работах обсуждается вопрос о первых компонентах сложных существительных — большей частью о тех, которые пишутся через дефис (как в существительном бизнес-план), однако упоминаются и компоненты, пишущиеся слитно (как в существительном фотостудия). К таким компонентам довольно часто применяется предложенный М. В. Пановым термин аналитические прилагательные. Эти единицы не образуют цельного класса, однако их атрибутивный (определительный) характер не вызывает сомнений. Иначе говоря, они выполняют ту же функцию, что и прилагательные. Однофункциональность языковых единиц открывает возможность использования сочинительной связи между ними: исследователи отмечают приемлемость сочетаний типа тренажерные и фитнес-залы, очные и интернет-конференции.

Называть сочетания типа электронная и аудиоверсия или тренажерные и фитнес-залы ошибками было бы слишком категорично, но, учитывая графическое оформление слов (слитное или дефисное написание обсуждаемых компонентов — в отличие от настоящих прилагательных, пишущихся отдельно от определяемых существительных), едва ли следует рекомендовать к использованию в строго нормированной письменной речи. В этом случае лучше повторить существительное после каждого определительного компонента: электронная версия и аудиоверсия доступны на сайте...

Простите, пожалуйста, за долгий ответ! Через дефис пишутся, во-первых, сложносоставные существительные (плащ-палатка, кран-балка, диван-кровать). Первая часть таких слов не склоняется (плащ-палаткой, кран-балкой, диван-кроватью). В сложносоставных словах между частями есть очень тесная связь, которая и позволяет не склонять первое слово. Во-вторых, дефисное написание имеют конструкции, представляющие собой сочетание определяемого слова с приложением, то есть согласованным определением, выраженным существительным (художник-маринист, инженер-экономист и т. д.). В этом случае склоняются обе части: художником-маринистом, инженером-экономистом. В приведенных примерах мы имеем дело именно с этим случаем, соответственно по правилам мы должны склонять обе части: «Зенита-Казани», «Зенитом-Казанью» и т. д. Это соответствует и реальной языковой практике. Например, новости на канале Sport24 выглядят так: Сегодня, 15 сентября, состоится матч 1-го тура группы А на Кубке Победы между «Зенитом-Казанью» и кемеровским «Кузбассом», и таких примеров много. Хотя надо отметить, что пишущие часто избегают косвенных падежных форм этих конструкций, предпочитая другие варианты формулировок (например, ...между казанским «Зенитом»).

Что касается названия, состоящего из двух слов, то обе его части, конечно, должны склоняться.