О фразеологизации говорить можно, но правильнее говорить об устойчивом эпитете.
Сочетание ограничение бюджета корректно.
По отношению к женщине такое обращение неудачно.
Это не так. Слово медведь образовано от основ мед и *ěd- (т. е. не «мед + ведать», а «мед + есть»; в появилось в этом слове позднее) и буквально означало 'поедатель меда'. См. «Этимологический словарь русского языка» М. Фасмера.
Да, это части сложного предложения, и поставленная Вами запятая нужна.
Запятая перед и не нужна.
Ответы на подобные вопросы можно найти в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Да, вторая запятая нужна: она закрывает придаточную часть кого мы ищем в этом городе. Тире при этом тоже нужно: оно отделяет пояснительную конструкцию, относящуюся к местоимению тем.
В варианте 3 предлагается выбрать вопрос «за что?», в то время как правильным вопросом к слову «беспокоиться» будет «о чём?».
Запятая не нужна. Обратите внимание: оборот в рамках продукта неудачен.