После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы.
В данном случае в приставке с- нет необходимости, лучше использовать глагол интегрироваться (он может отвечать и на вопрос "что делать?", и на вопрос "что сделать?").
См. в «Справочнике по фразеологии».
Такую проверку можно назвать исторической, так как указанные Вами слова не являются в современном русском языке однокоренными, но они исторически родственные. См. об этом здесь.
Можно использовать оба предлога, в данном случае они синонимичны.
Указанные запятые нужны для выделения причастного оборота.
Воспользуйтесь словарями (окно «Искать на Грамоте») на нашем портале.
Морфемный состав слова чернила разные специалисты определяют по-разному. Мы склоняемся к тому, чтобы выделять в этом слове корень черн-: черн-и-л-а. Такой вариант членения этого слова предложен в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Ф. Ефремовой. В таком случае можно проверить правописание этого слова однокоренным прилагательным черный.
Верно: Кофеин тонизирует и придает жизненной энергии.
Орфографического (лингвистического) запрета нет. Нужно узнать мнение юристов.
Пунктуация корректна.
