Дело в том, что собирательные числительные (двое, трое, четверо...) в русском языке имеют ограниченную сочетаемость. Они употребляются не со всеми словами. С существительными мужского рода, обозначающими детенышей животных, собирательные числительные сочетаются, а со словами, обозначающими взрослых животных, – нет. Поэтому пятеро лисят, трое котят, семеро козлят – корректно, а трое котов, семеро козлов (о животных) – ошибка.

Это ошибка. Верно: три сотрудницы.

См. также: http://new.gramota.ru//spravka/letters/61-rubric-92

Словарная рекомендация: Воздушно-десантные войска РФ, Военно-воздушные силы РФ, Ракетные войска стратегического назначения РФ. Если же речь идет обобщенно о родах войск, то уместно написание строчными буквами.

Возможны оба варианта.

Да, верно. В сочетании с неодушевленными существительными pluralia tantum (т. е. имеющими  только формы множественного числа) и с названиями парных предметов употребляются собирательные числительные, ср.: пятеро ножниц, пятеро щипцов, двое носков. 

Правильно: Три сотрудницы ушли в декрет. Собирательные числительные (двое, трое, четверо...) в литературном языке не употребляются со словами, называющими лиц женского пола.

Грамматическая проблема, с которой Вы столкнулись, называется «согласование сказуемого с подлежащим, выраженным количественно-именным сочетанием». Здесь возникает сложность с выбором формы сказуемого, а не со склонением числительного. 

Если подлежащее выражено собирательным числительным (двое, трое, четверо и т. д.) с зависимым существительным в форме род. падежа мн. числа, то глагол-сказуемое, стоящий после подлежащего, ставится в форму мн. числа: двое детей играли.

Лучше: отобрано четверо животных. Обратите внимание: наречие наудачу в значении «надеясь на благоприятный случай; без предварительного обдумывания, выбора и т. п.» пишется слитно.

Да, сочетание корректно.

Правильно: мужья четырех сестер Петровых. Собирательные числительные (двое, трое, четверо...) не употребляются с существительными женского рода, называющими лиц.