Корректно: Он получил диплом по специальности "психиатрия и психотерапия".
Корректно: по специальности «финансы и кредит», по специальности «менеджмент».
Четких правил, как писать названия специальностей, нет. Мы рекомендуем писать названия специальностей в кавычках с маленькой буквы: диплом по специальности "физика твердых тел".
Верно: по специальности "лечебное дело".