Т произносится мягко.
Филологические словари фиксируют только прилагательные экзистенциальный и экзистенциалистский.
Большой толковый словарь
Связанный с бытием, существованием человека. Э-ые проблемы жизни.
к Экзистенциализм и Экзистенциалист. Э-ие взгляды.
Первый согласный т в слове паштет произносится мягко, произношение паш[тэ]т неправильно.
Большинство словарей рекомендует мягкое произношение согласного Т в слове катехизис.
Большой толковый словарь
1. Матем.
Найти - находить интеграл данной функции. И. уравнения.
2. Книжн.
Объединить - объединять части, стороны чего-л. в одно целое. Литература интегрирует все проблемы своего времени. < Интегрироваться, -руется; страд. Интегрирование, -я; ср. И. функций и дифференциальных уравнений.
Согласная в этом слове произносится мягко: патент [не тэ].
Буквенные аббревиатуры читаются по названию букв: [эсэсэсэр], [пээмэс], у аббревиатуры ТСЖ закрепилось произношение [тэсэже].
Словарь имён собственных
Правильно произношение мис[тэ]р.