Сочетание танковые войска пишется строчными.
Правильно: Европейский союз.
Обратитесь к нашим словарям.
Правильно: Европейский союз.
Вместо этих оборотов лучше использовать такие: крайний справа, крайний слева.
Правильно: Союз дизайнеров России. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные.