Корректны оба варианта – с предлогом и без предлога.
В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова слово помощь членится на приставку по-, корень -мощь- и нулевое окончание. Однако, по нашему мнению, сейчас здесь можно выделить и корень -помощь-, т. к. связь по значению между словами помощь и мочь в современном русском языке трудноуловима. Более того, слова помощь и мочь являются довольно дальними родственниками и существительное помощь было заимствовано в русский язык из старославянского.
Лучше: уборка пылесосом. Но и Ваши варианты корректны.
Можно и так, и так.
Существуют оба выражения.
Нет оснований писать это сочетание с большой буквы.
С точки зрения авторов толковых словарей варианты равноправны. Однако в справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке») приведена такая рекомендация: с помощью – обычно при указании орудия, средства совершения действия, при помощи – при указании лица.
