Правильно со строчной: акция «Чистая республика»; очистим республику от мусора. Слово республика пишется с прописной в составе официального названия государства.
Прописные и заглавные буквы — это большие. Строчные — маленькие.
Правильно: человечек ― человечков.
Интересно, что в Национальном корпусе русского языка (http://www.ruscorpora.ru/) есть один пример с формой, содержащей ик, ― в цитате из письма А. С. Пушкина: «А последнее упоминание имеется в письме Пушкина от 4 мая 1836 года: "Домик Нащокина доведен до совершенства ― недостает только живых человечиков"» (Зильберштейн И. С. Лучшая зарубежная коллекция реликвий русской культуры // «Огонек». 1970. № 5-6).
Северное сияние — повторяющееся атмосферное оптическое явление, ср.: зарница, гало, глория.
Согласно академическому «Русскому орфографическому словарю», пепси — тоже существительное женского рода. Но можно понять, почему в речи возникает согласование по мужскому роду. Влияет внешний фонетический облик: пепси похоже на те несклоняемые существительные, которые под влиянием родового слова напиток могут согласовываться по мужскому роду.
Можно, но такое образование не соответствует нормам литературного языка.
Словосочетание вполне нормальное, ничего странного в нем нет.
