Обособление не требуется.
Правильно: команде лицея № 5 г. Таганрога.
Слово кубок в значении 'награда' пишется строчными: команда выиграла кубок.
Выражение как по команде, выполняющее фукнцию обстоятельства образа действия, фразеологическое, оно синонимично наречию разом и само по себе не требует обособления. Находясь в конечной позиции, оно, как и любой другой второстепенный член, может приобретать характер присоединительной конструкции; смысловым центром предложения в этом случае будут сказуемые обернулись и поклонились, а обстоятельство как по команде будет нести добавочную информацию. Такие конструкции отделяются тире: Ребята обернулись и поклонились — как по команде.
Правильно: Команда вступала в юбилейный, пятнадцатый сезон.
Здесь верно: на чемпионате.
Основной вариант: инспЕкторов. Но допускается и постановка ударения на окончании.
