С прописной буквы пишется первое слово официального названия предприятия, учреждения и входящие в состав названия имена собственные. Корректно: региональное управление ФМС, воронежское управление ГИБДД (неофициальные названия), но: Управление Федеральной миграционной службы по Московской области, Управление ГИБДД ГУ МВД России по Воронежской области (официальные названия).

В Калининградской области есть поселок Ливны. Возможно, именно с этим топонимом связана история названия Вашего поселка. Справочная служба не располагает возможностью проводить топонимические изыскания. 

Если это заголовок в газете или на новостном сайте, следует писать с маленькой буквы. Если это заголовок официального документа, то с большой (но, скорее всего, там будет указано, какой именно области, например Выборы Губернатора Калининградской области).

В СМИ примеры такого рода действительно встречаются, например: "Минкультуризма Калининградской области объявляет о проведении ежегодного конкурса" (https://39rus.org/news/society/69618); "Минкультуризма. Прогулки по писательским местам Подмосковья" (https://xn--80ahcnlhsxj.xn--p1ai/collection/11159/). Но мы совершенно согласны с тем, что подобное сокращение нежелательно, так как вызывает курьезные ассоциации. 

Иноязычные географические названия склоняются в сочетании со словом город, если они хорошо известны, если они освоены русским языком (в городе Нью-Йорке, из города Мадрида). Малоизвестные географические названия остаются без изменений. Название Эльблонг не так известно носителям русского языка, поэтому корректно: в городе Эльблонг. Впрочем, если это сочетание встречается, например, в газете, выходящей в Калининградской области (жителям которой название города наверняка хорошо известно), можно написать и в городе Эльблонге.