Предпочтительно слитное написание: быстрообновляемый.
Предпочтительно: Их текущая деятельность и реализуемые в настоящее время проекты дают представление о состоянии дел в отрасли.
Правилен второй вариант. Быстро тающее представляет собой сочетание наречия с причастием, а не сложное прилагательное. Глагольные признаки формы тающее актуализируются благодаря относящемуся к ней обстоятельству на солнце.
Корректно раздельное написание: быстро прогрессирующее заболевание.
Едва ли сочетание (быстро)развивающийся мир является терминологическим сочетанием, указывающим на тип мира (сравним: вечнозеленые растения — тип растений, крупномолотый перец — тип приправы), а значит, здесь возможно только раздельное написание наречия и причастия: быстро развивающийся мир.
Правильно: претензий не имеется.
