Перед римскими цифрами тоже употребляется предлог к: к II спряжению.

В первом предложении "двое детей" - подлежащее, поэтому используется именительный падеж. Во втором предложении подлежащее Я, а "двоих детей" - дополнение.  

В практике письма закрепилось написание Евро-2.

Слово практическая следует писать со строчной буквы.

Нет, такое употребление некорректно.

Первый вариант предпочтителен, второй допустим.

Если нельзя избежать употребления данной конструкции, то возможно следующее оформление на письме: организация «упрощенец» (без дефиса). Правила правописания этот случай не регулируют. Предпочтительно: в II квартале (при написании цифрами).

В деепричастиях прошедшего времени, как и в глаголах прошедшего времени, перед суффиксом сохраняется та же гласная, что и в инфинитиве: увидев, увидел.