Корректно: Война за польское наследство. Ср. зафиксированные в словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В., Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) сочетания Война за австрийское наследство, Война за испанское наследство.
Сочетание холодная война пишется без кавычек.
В названиях войн с прописной буквы, как правило, пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).
Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).
Правильно: Пойду посмотрю «Звездные войны».
Орфографический словарь
Да, нужно.
Правильно раздельное написание: чудовищно жестокая война.
