Возможно: место в соревнованиях "Кубок данной местности", место НА кубке.
Вы написали правильно: кубик Рубика.
Глагол кусать и существительное кусок с исторической точки зрения восходят к одному корню, однако в современном русском языке их родство уже не осознается.
Это выражение некорректно.
Правильно: чемпион мира, Кубок мира.
Слово чемпионат пишется строчными: чемпионат мира по футболу, чемпионат Европы, чемпионат России. Слово Кубок пишется с большой буквы как первое слово в названии спортивных соревнований: Кубок Европы по водному поло, Кубок мира, Кубок России. Но: Межконтинентальный кубок.
Почему — местоименное наречие, функция дополнения для него не характерна, поэтому кавычки нужны.
Полагаем, что такое сочетание возможно как номенклатурное обозначение продукта. Оно позволяет отличать филе как кусок рыбной тушки от головы до хвоста от части этого куска.
. 
