Корень да-.
Пунктуация верна.
Позиция после сочинительного союза, находящегося в начале предложения, не препятствует расчленению сложного союза для того чтобы, однако если придаточная часть предшествует главной (а здесь именно такой случай), запятая чаще ставится после всей придаточной части, то есть предпочтителен вариант: Но для того чтобы себя улучшать, вам нужно... См. параграф 34.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя и приведенный там пример, аналогичный Вашему (с союзом но в начале предложения и следующим за ним сложным союзом прежде чем): Но прежде чем этот кусок успевал упасть на землю, рабочий с необыкновенной ловкостью обматывал его цепью в руку толщиной (Купр.).
В соответствии с системой склонения, принятой в школе, слово дом второго склонения. В соответствии с академическими грамматиками – первого.
Первое слово пишется с большой буквы: Дом культуры.
Пунктуация верна. Это сложное предложение, между его частями ставится запятая.
Правильно: сыграет самого себя.
На месте "беглых" гласных, действительно, располагался Ъ или Ь. Но не "болгарский".
О склонении аббревиатур читайте в "Письмовнике".
Запятая поставлена верно.
