В обиходной речи правомерны оба варианта: загс и ЗАГС. Официальное наименование: отдел ЗАГС.
Слово можно склонять и не склонять, писать строчными и прописными. Вот словарная рекомендация:
загс, -а и ЗАГС, -а и неизм. (отдел ЗАГС) (сокр.: запись актов гражданского состояния)
См. «Непростые слова». Второе тире не требуется: ...с лидером группы -- «Таугресом» у себя дома_.
Правильно: Герман Гессе.
Рекомендация такова: омикрон-штамм (ср. гамма-лучи), штамм омикрон (ср. рукав реглан).
В таких случаях сказуемое находится в форме ед. ч. и согласуется с ближайшим подлежащим: На его гербе была не шпага и не корона, а белка. Сравним примеры из параграфа 190 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»: Меня угнетала не боль, а тяжелое, тупое недоумение (Горький); Опубликован роман, а не повесть, Опубликован не роман, а повесть; Это была не разведка, а настоящее сражение.
Орфографически правильно: Каймановы Острова. В соответствии с Общероссийским классификатором стран мира название страны – Острова Кайман.
В приведенных Вами вопросах речь идет о похожих, но все же разных ситуациях.
1. Предложения со схемой А: «П?», где прямая речь — вопросительное предложение. Приведем примеры.
Смотрю вслед ему и думаю:«Зачем живут такие люди?»
Только один раз мы встречаемся с Лукьян Лукьянычем (я ещё его не знал тогда), он и говорит: «За кем вы здесь волочитесь?»
2. Предложение имеет ту же схему А: «П?», но прямая речь, представляющая собой вопросительное предложение, содержит название, заканчивающееся вопросительным знаком.
Он меня спросил: «Ты читал роман "Что делать?"»
Если бы название было включено в прямую речь — повествовательное предложение, то точка бы стояла.
Он сказал мне: «Я не читал роман "Что делать?"».