В современном русском языке в слове надежда приставка уже не выделяется. «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова предлагает такой вариант разбора: надежд-а. Исторически – да, это слово образовано от nadeti 'положить, поставить' – префиксального производного от *deti > деть  'класть, ставить'. Надежда буквально – 'то, на что полагаются'. Но это, подчеркиваем, исторический состав слова; при синхронном (современном) морфемном анализе выделение приставки на- и суффикса -жд- нецелесообразно.

«Справка» не выполняет домашних и проверочных заданий.

С одним н пишется суффикс прилагательных -ин(ый), напр.: соловьиный, куриный, мышиный, гостиный (гостиный двор); то же в существительных гостиная, гостиница. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).

Метрополис (от греч. metrópolis — главный город), 1) крупная городская агломерация, сложившаяся в результате слияния нескольких городов или слияния города с окрестными поселениями (в этом же значении используется и слово мегаполис); 2) центральный город страны или какого-либо крупного подразделения государственной территории.

Да, употребимо. Например, у Куприна:

Подавай, говорит, собаку? Этак что же? Он и луну с неба захочет, так подавай ему и луну? Поди сюда, Арто, поди, моя собаченька. Ну, и денек сегодня задался. Удивительно! ― На что лучше! [А. И. Куприн. Белый пудель (1903)]

Во всех случаях корректно написание со строчной буквы: в составе этих наименований нет имен собственных.

Есть словарная фиксация: «Невский пятачок». Именно такой вариант предлагает справочник Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?», подчеркивая, что речь идет о мемориале. Представляется, что, если имеется в виду не мемориал, а район боевых действий, кавычки можно снять (аналогия с Курской дугой верная).

Глагол умереть применим и к животным тоже.

Вот примеры из классиков.

Мыши вообразили себе, что кот умер, и высыпали из всех своих нор, чтобы праздновать свое торжество. Но кот не умер, а только притворился умершим, чтобы тем удобнее рассмотреть своих врагов и узнать их норы (Салтыков-Щедрин). Бакай хотел мне что-то сказать, но голос у него переменился, и крупная слеза скатилась по щеке ― собака умерла; вот еще факт для изучения человеческого сердца (Герцен). Собака умерла в сильных мучениях ― мысль о стрихнине была оставлена (Ходасевич).

Предложение Кот умер полностью корректно.

Пол чайной ложки — это половина чайной ложки. Соответственно, пол- рассматриваем как сокращенное существительное половина. Во всех случаях подставляем полное слово и определяем, каким членом предложения оно является. Но речения типа пол чайной ложки являются разговорными, предлагать их для разбора школьникам не следует.