Это название склоняется.
Корректно: Гаврилово-Посадский район.
Р. п. - Иванова, д. п. - Иванову, в. п. - Иваново, т. п. - ИвановОм, п. п. - об Иванове. Заметим, что это название может быть и несклоняемым.
Корректно: В ответ на Ваше обращение, поступившее на официальный сайт города, сообщаем...
Название района нужно писать с заглавной буквы.
Пунктуация зависит от строя предложения. Если это все предложение, то как в перине пуховой является сказуемым, указанная запятая не требуется. Если предложение продолжается, то оборот с как может быть сравнительным, в этом случае он выделяется запятыми с двух сторон.
Не обособляются определения, стоящие после неопределенных местоимений (в данном случае: кто-либо) и образующие с ними единую группу (ударение падает на определение). Указанная запятая не требуется.
Да, по правилам: Карл-Маркс-Штадт (т. к. штадт не употребляется в русском языке как нарицательное существительное). Ср. в книге А. В. Суперанской «Ударение в собственных именах в современном русском языке» (М., 1966): Карл-Маркс-Штадт.
Пишется без мягкого знака: Колката.
