Корректно обособление как вводного сочетания, указывающего на источник сообщения.

Корень мож- выделяется в словах мож-н-о, воз-мож-н-о, воз-мож-н-ый, не-воз-мож-н-ый, не-воз-мож-н-о, воз-мож-н-ость-ø и др.

Частеречная принадлежность не влияет на выделение корня: однокоренные слова могут относиться к разным частям речи.

Оба варианта корректны, однако первый оборот чаще употребляется с местоимением сам/самый: Вначале их забавлял самый принцип кинематографии, их смешил самый факт того, что живые люди движутся на полотне [Е. Петров. Остров мира. Комедия в 4 актах (1947)]; — Кирилл, — в голосе Романа Артуровича мелькнула усталость, — но разве сам факт того, что мы признаём прослушивание, не является свидетельством нашей честности перед партнёрами? [Алексей Иванов (Алексей Маврин). Псоглавцы. Гл. 21-39 (2011)]. 

Запятая перед союзом и, соединяющим две грамматические основы, действительно не нужна. Обстоятельство в ближайшее время можно считать общим для них, но важнее, что это однородные придаточные части, зависящие от слова надеюсь в главной части.

Вопрос непростой. Вообще сочетание со словом голос вполне может использоваться как вводящее прямую речь, как в примере Голос диктора звучал отчетливо: «Передаём последние известия». Наблюдения над материалами Национального корпуса русского языка показывают, что сочетания структуры «чей-либо голос звучал/звучит как-либо» часто именно так и используются, в том числе внутри или после прямой речи, например (приведем фрагменты из текстов разных веков): «Лала, — голос графа звучал еще строже, — малярии на Корфу не бывает» [А. В. Амфитеатров. Жар-цвет (1895)]; «Шепетуха!» — голос Мырлова звучал негромко, но с таким змеиным шипением, что каждое слово сыщика было слышно в самом дальнем уголке квартиры [Н. Дежнев. Год бродячей собаки (2002)].

Вместе с тем нужно заметить, что порядок слов в этом случае нехарактерен для сочетания, вводящего прямую речь: глагол в нем не вынесен в начальную позицию. Закономерно, что в некоторых примерах из корпуса сочетание представлено как комментарий к прямой речи, начинающийся с прописной буквы, сравним: «Алле! Фадя? — Голос жены звучал бодро. — Как дела?» [Д. Н. Каралис. Случай с Евсюковым (1985)]; «Вам, девушка, мотоцикл нужен?» — Голос мальчишки звучал робко и тихо [Е. Романова, Н. Романов. Дамы-козыри (2002)].

Примеры обсуждаемого сочетания с «образцовым» для таких случаев порядком слов в корпусе тоже есть, сравним: «Ты думаешь еще, — звучал в ее ушах голос продавца амулетов, — что все эти твои помощники разрозненны, что нужен человек, который соединил бы их и сделал бы решительный шаг…» [М. Н. Волконский. Брат герцога (1895)]; «Все документы на груз оказались в полном порядке, но акцизные марки на бутылках вызвали подозрение», — звучал за кадром голос комментатора [В. Мясников. Водка (2000)]. В авторских ремарках подобного рода делается акцент на самом факте произнесения слов, тогда как в замечаниях типа голос графа звучал еще строже — на том, ка́к они говорились.

Исходя из порядка слов в авторской ремарке структуры «чей-либо голос звучал/звучит как-либо», рекомендуем всё же начинать ее с прописной буквы, а прямую речь заканчивать вопросительным, восклицательным знаком или многоточием:
— О, привет! — Мой голос звучит немного оживленно. — Как дела?

Общего правила нет. В случае возникновения затруднений необходимо обращаться к словарям грамматического управления.